ECUACIONES
Las ecuaciones son fundamentales
en el Álgebra pues se utilizan en la resolución de problemas traduciendo
expresiones del lenguaje ordinario a expresiones algebraicas.
Diofanto de Alejandria, fue el
primero en enunciar reglas para resolver ecuaciones de primer grado y segundo
grado y empezó a utilizar abreviaturas y signos para representar las
operaciones. Su libro más famoso se
llama Aritmética, el cual constaba de 16 tomos y contenía sus conocimientos
sobre el álgebra los cuales han servido de base a los conocimientos matemáticos
modernos.
IGUALDAD NUMÉRICA
Se compone de dos expresiones
numéricas unidas por el signo igual (=).
15+5=10+5+5; 4+5=12-3; 7(3)=20+1; 20/4=4+1
las igualdades de la forma 3x-4=9; 5y+2=y-5 son ecuaciones.
ECUACIONES
Es la igualdad entre dos
expresiones numéricas o expresiones algebraicas en la que hay una o varias
cantidades desconocidas llamadas incógnitas.
Las incógnitas se representan por las últimas letras del abecedario
x,y,z,u,v.
Ejmplos: 5x+2=7 2y-4=5
MIEMBROS
Se llama primer miembro de una
ecuación a la expresión que está a la izquierda de el signo de igualdad y
segundo miembro, a la expresión que está a la derecha.
Ejemplo: 3x+4=x-2; primer
miembro (3x+4); segundo miembro
(x-2)
TÉRMINOS
Son las cantidades que están
conectadas con otra por el signo + ó - , o la cantidad que está sola en el
miembro.
Ejemplo: 3x+4=x-2, los
términos son: 3x,4,x,-2.
GRADO DE UNA ECUACIÓN
El grado de una ecuación lo
determina el mayor exponente de la variable o incógnita.
Si el exponente de la variable o
incógnita es uno, se dice que la ecuación es de primer grado o grado uno.
Las ecuaciones de primer grado se
llaman ecuaciones simples o lineales.
Ejemplo:
a)
5x+4=20 Ecuación
de primer grado.
b)
2x+1=x+7 Ecuación
de primer grado.
c)
4x+3=2x+5y Ecuación
de primer grado.
d) 5x2+2x=8 Ecuación de segundo grado.
CLASES DE ECUACIONES
Ø ECUACIÓN NUMÉRICA
Cuando en una ecuación
las únicas variables son las que corresponden a las incógnitas.
Ejemplo: 5x-2=8; 3y+4=-5; 5+3x=8-x
Ø ECUACIÓN ENTERA
Cuando todos los
coeficientes de los términos son números enteros.
Ejemplo: 7x+5=2x+3; 8y+1=y-7
Ø ECUACIÓN LITERAL
Cuando
en una ecuación además de las incógnitas aparecen otras letras.
Ejemplo: 2x+4m=x-m; 4y-b=b+y
Ø ECUACIÓN FRACCIONARIA
Cuando
los coeficientes de los términos de la ecuación son fracciones.
Ejemplo: 2/5 x + 1/7= 7/8
Ø ECUACIÓN IRRACIONAL
Cuando
por lo menos una incógnita figura bajo el signo radical.
Ejemplo:
-4=x+8
RAÍZ O
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
En la solución de una ecuación
encontramos tantas raíces como determine el grado de la ecuación. Es decir; si la ecuación es de primer grado,
tendrá una raíz; si la ecuación es de segundo grado, tendrá dos raíces y si la
ecuación es de tercer grado tendrá tres raíces y así sucesivamente.
Se llama raíz o solución de una
ecuación a los valores de las incógnitas que verifiquen o satisfacen la
ecuación, convirtiendo la ecuación en una igualdad numérica.
Ejemplo: 5x-10=5
luego la raíz es x=3.
RESOLUCIÓN
DE UNA ECUACIÓN
Se llama resolución de una
ecuación al procedimiento que se emplea para hallar o encontrar el valor o los
valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación (raíces o soluciones).
AXIOMA
FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES
“Si con cantidades iguales se verifican
operaciones iguales los resultados serán iguales”
REGLAS QUE
SE DERIVAN DE ESTE AXIOMA
Ø Si a los dos miembros de una
ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
Ø Si a los dos miembros de una
ecuación se resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad
subsiste.
Ø Si a los dos miembros de una
ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la
igualdad subsiste.
Ø Si los dos miembros de una ecuación
se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
Ø Si los dos miembros de una ecuación
se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se extrae una misma
raíz, la igualdad subsiste.
Ejmplos: 3x+5=8 2x+1=3 4x+3=2x+1
3x+5+5=8+5 2x+1-x=3-x 3(4x+3)=3(2x+1)
3x+10=13 x+1=3-x 12x+9=6x+3
TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS
La transposición es el proceso de
traslación de una cantidad o término de un miembro de una ecuación al otro
miembro, trabajando con la operación inversa.
La transposición se emplea para
obtener una ecuación en la cual la cantidad desconocida o incógnita que en un
miembro y las cantidades desconocidas, en el otro miembro.
Un miembro puede ser trasladado de
un miembro de una ecuación al otro si se le cambia el signo de más (+) por el
signo de menos (-), o de menos (-) por el de más (+).
Un factor (multiplicador) puede ser
eliminado de un miembro de una ecuación convirtiéndolo en divisor del
otro.
Un divisor puede ser eliminado de un
miembro de una ecuación convirtiéndolo en factor (multiplicador) del otro
miembro.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ENTERAS DE
PRIMER GRADO
CON UNA INCÓGNITA
REGLA GENERAL:
Ø Se efectúan las operaciones
indicadas.
Ø Se hace la transposición de
términos, reuniendo de un miembro todos los términos que contengan la incógnita
y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.
Ø Se reducen términos semejantes en cada
miembro.
Ø Se despeja la incógnita dividiendo
ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.
Ejemplos:
a) 3x-5=x+3
3x-x=3+5
2x=8
2x=8
2 2
x = 4
b) 35-22x+6-18x=14-30x+32
-22x-18x+30x=14+32-35-6
-10x = 5
-10x = _5__
-10 -10
x = - ½
Resolver las siguientes ecuaciones:
1) 5x-8x=5
2) 4x+1=2
3) y-5=3y-25
4) 5x+6=10x+5
5) 9y-11=-10+12y
6) 8x-4+3x=7x+x+14
7) 8x+9-12x=4x-13-5x
8) 16+7x-5=11x-3-x
9) 5y+6y-81=7y102+65y
10) x=4x+12
11) x+3x-8=x-3
12) 5x-14=x-28-3x
13) 3x-2x+1=7x-3+5x-x+24
14) 5x-3x+6=18+7x+6+3x-24
15) 3x-18+2x-x=9-3x
